水平線までの距離は何キロ？ — 目の高さで決まる見通し距離と、その「高さ」がどこから測った高さなのか

砂浜に立った大人が見ている水平線は、およそ4.7km先です。 意外と近い。これは地球が丸いことの直接の帰結で、距離は目の高さの平方根で決まります。高さを100倍にしても、見える距離は10倍にしかなりません。そしてこの計算をするとき、その「高さ」がどこから測った高さなのかという問題が必ずついてきます。今回はそこまで行きます。

式はひとつだけ——高さの平方根に比例する

目の高さを h（メートル）、水平線までの距離を D（キロメートル） とすると、地球を半径6,371kmの球とみなした幾何だけの計算では

D ≒ 3.57 × √h

になります。ただし実際には、大気の密度が高さとともに薄くなるために光がわずかに下向きに曲がります（大気屈折）。これを見込むと、地球が実際より少し大きいかのように振る舞い、係数が大きくなります。測量で使われる屈折の係数（気差係数、おおむね0.13前後）を用いると

D ≒ 3.83 × √h

くらいになります。以下の数字はこの屈折込みの式で計算したものです。

見る人・場所	高さ h	幾何のみ（3.57√h）	屈折込み（3.83√h）
砂浜に立った大人の目	1.5 m	約 4.4 km	約 4.7 km
5階建てビルの屋上	15 m	約 13.8 km	約 14.8 km
展望台	100 m	約 35.7 km	約 38.3 km
高層展望台	450 m	約 75.7 km	約 81.2 km
富士山の山頂	3,776 m	約 219 km	約 235 km

平方根であることが、この話のいちばん面白いところです。目の高さを1.5mから15mへ10倍にしても、見える距離は約3.2倍にしかなりません。灯台や展望台がどんどん高くなっても、見通しがそれに比例して伸びてくれないのは、この式のせいです。

なぜ富士山は322km先から見えるのか——「両側の高さを足す」

上の表では、富士山の山頂から見える水平線は約235kmでした。ところが、富士山が実際に写真に撮られた最も遠い地点は、和歌山県那智勝浦町の色川富士見峠で、その距離は約322.9kmです（2001年9月に撮影成功。それ以前の記録は妙法山からの約322.6km）。235kmを大きく超えています。

矛盾しているように見えますが、していません。235kmという数字は「見られる側だけが高くて、見る側は海面にいる」場合の答えだからです。見る側にも高さがあれば、その分の見通し距離が足せます。

D ≒ 3.83 ×（√h₁ + √h₂）

この式で逆算すると、富士山（3,776m）が322.9km先から見えるためには、観測地点側に約530m以上の高さがあればよい、という計算になります。峠から見ているのですから、条件は満たされます。

だから「富士山が見える最遠の地」争いは、遠くの高い場所を探す競争になります。しかも実際には、空気の澄み具合、途中の山による遮蔽、大気の状態による屈折の変動が絡むので、計算どおりに見えるわけではありません。台風一過の早朝が狙い目とされるのは、そのためです。

ここからが本題——その「高さ」は何からの高さか

さて、上の計算にはずっとhという文字が出てきました。この高さは、何を基準にした高さでしょうか。

「海面から」と答えたくなります。半分正解です。ここで、GeoPrism JPが繰り返し扱ってきた話につながります。

標高：ジオイド（平均海面を陸地の下まで延長した、重力が生む凸凹した面）からの高さ。日本の陸地では東京湾平均海面を基準に決められています
楕円体高：地球を数学的な回転楕円体（GRS80など）とみなしたときの、そのなめらかな面からの高さ
ジオイド高：楕円体面からジオイドまでの差。日本ではおよそ30〜40mあります

楕円体高・標高・ジオイド高の関係を示す断面図

水平線までの距離の式で使う「地球の半径」は、幾何的な球のことです。一方、日常で言う「標高」はでこぼこしたジオイドを基準にした高さです。この2つは厳密には別の基準面を指しています。

もっとも、実務的にはほとんど問題になりません。ジオイド高の差は日本国内で数十m、水平線までの距離への影響は√の中に埋もれてしまう程度だからです。ただし、GNSSが表示する高さをそのまま使うと話が変わります。

スマートフォンやGNSS受信機が最初に出す高さは、多くの場合楕円体高です。日本ではジオイド高がおよそ30〜40mありますから、楕円体高をそのまま標高だと思って使うと、30m以上高い場所にいることになります。水平線の計算に入れれば、目の高さ1.5mが31.5mになり、距離は4.7kmから21.5kmへ跳ね上がる——4倍以上の誤りです。

「高さを1つ言えば済む」と思えるところに、実は3種類の高さが隠れている。楕円体高・標高・ジオイド高の違いを一度整理しておくと、こういう場面で足元がぐらつかなくなります。

おまけ：「水平線」と「地平線」、「海抜」と「標高」

水平線は海の上に見える境目、地平線は陸地の上に見える境目。計算式は同じです。ただし陸地は起伏があるので、実際には式どおりの距離まで見えることのほうが少なくなります
海抜と標高は、どちらも「海面からの高さ」ですが、基準にする海面が違う場合があります。津波・高潮の文脈で使われる「海抜」は、その地域の海面を基準にしていることがあり、東京湾平均海面基準の標高とは一致しないことがあります。詳しくは海抜と標高の違いにまとめました
離島では、そもそも東京湾平均海面を持ち込めないので、島ごとに独自の高さの基準が決められています