GNSSの位置測位に最低何機の衛星が必要？ — 4元一次方程式のきほん

【クイズ解説⑧】GNSSの位置測位に最低何機の衛星が必要？ — 4元一次方程式のきほん

GeoPrism JP の「学ぶ・クイズ」から毎回2問ほどを取り上げて解説する連載、第8回です。第1回はPatchJGDと地殻変動補正、第7回は緯度経度1度の距離感を扱いました。今回は測位の一番の基礎、「GNSSで位置を出すには最低何機の衛星が必要か」をクイズで確認します。

第1問：単独測位に最低限必要な衛星数

GNSS受信機がその場の緯度・経度・高さを求めるには、最低何機の衛星からの信号が必要ですか。

2機

3機

4機

6機

正解：3（4機）

「位置は3次元（緯度・経度・高さ）だから3機で十分では？」と思うかもしれませんが、実際には4機が必要です。理由は、GNSS受信機が正確な原子時計を積んでおらず、時刻のズレ（クロックバイアス）も未知数として同時に解く必要があるためです。

未知数	内容
$x, y, z$（または緯度・経度・高さ）	受信機の3次元位置
$\delta t$	受信機時計のズレ（クロックバイアス）

未知数が4つあるため、これを解くには最低4つの独立した方程式、つまり4機の衛星からの距離情報が必要になります。

GNSS測位に4機以上の衛星が必要な理由を示す図解

第2問：衛星4機で解く「4元一次方程式」の中身

GNSS受信機が4機の衛星から位置を求める計算は、次のうちどれに最も近いですか。

4元連立一次方程式を解いて位置と時計ズレを同時に求める

4機の衛星の位置を平均した点を受信機の位置とする

最も信号が強い1機の衛星との距離だけで位置を決める

4機のうち中央値の距離を採用する

正解：1（4元連立一次方程式を解いて位置と時計ズレを同時に求める）

各衛星 $i$ について、受信機が観測する擬似距離（pseudorange）$\rho_i$ は、次の式で表せます。

$$
\rho_i = \sqrt{(x – x_i)^2 + (y – y_i)^2 + (z – z_i)^2} + c\,\delta t
$$

ここで $(x_i, y_i, z_i)$ は衛星 $i$ の既知の位置、$c$ は光速、$\delta t$ は受信機の時計ズレです。未知数は受信機位置 $(x, y, z)$ と $\delta t$ の4つ。衛星が4機あれば、この式が4本立ち、理論上は連立方程式として解けます（実際には非線形方程式なので、初期値から反復して解く手法が使われます）。

衛星が5機・6機と増えるほど方程式の本数が未知数を上回り（過剰決定系）、最小二乗法で誤差を平均化して精度を上げられるようになります。RTK-GNSSやカーナビが「見える衛星が多いほど精度が上がる」と言われるのは、この過剰決定の効果が効いているためです。

ひとことメモ：DOP（精度低下率）は「衛星の数」より「配置」

衛星が4機以上あっても、それらが空の一箇所に偏って配置されていると、測位精度は思ったほど上がりません。これは衛星の幾何学的な配置が測位精度に影響するためで、GDE（GeoDiveExa）のブログではSkyPlotとDOPの読み方として、この「配置による精度低下率」を現場目線で詳しく解説しています。数だけでなく配置も重要、という点は測位を学ぶうえで見落としやすいポイントです。

まとめ

GNSSの単独測位には、受信機の3次元位置に加えて時計ズレも未知数になるため、最低4機の衛星が必要です。各衛星からの擬似距離の式を連立させ、4つの未知数を同時に解くのが測位計算の基本形であり、衛星が増えるほど最小二乗法で精度を高められます。「学ぶ・クイズ」で確認した内容は、GeoPrism JPの各種可視化機能と合わせて確認すると、より理解が深まります。次回もクイズから2問を取り上げて解説します。